3.1 Pernyataan / Proposisi
Pernyataan / proposisi adalah suatu kalimat yang mempunyai nilai kebenaran (benar atau salah), tetapi tidak keduanya.
Contoh 1 :
P = Tadi malam BBM mulai naik (memiliki nilai kebenaran benar/true)
Q = 23 = 32 (memiliki nilai kebenaran salah/false)
Contoh 2 :
Berikut ini adalah beberapa contoh proposisi :
a. 1 + 2 = 3
b. Presiden RI tahun 2005 adalah SBY
c. 6 adalah bilangan prima
d. Warna bendera RI adalah biru dan merah
Kalimat-kalimat
di atas adalah kalimat proposisi karena dapat diketahui benar/salahnya.
Kalimat (a) dan (b) bernilai benar, sedangkan kalimat (c) dan (d)
bernilai salah.
Contoh 3 :
Berikit ini adalah beberapa contoh kalimat yang bukan merupakan proposisi :
a. Di manakah letak pulau seribu?
b. ocha lebih tua dari Arsi
c. x + y = 5
d. 2 mencintai 3
Kalimat
(a) jelas bukan proposisi karena merupakan kalimat tanya sehingga tidak
dapat ditentukan nilai kebenarannya. Kalimat (b) juga bukan proposisi
karena ada banyak orang dibumi ini yang bernama ocha dan Arsi. Kalimat
tersebut tidak memberikan keterangan yang lebih spesifik sehingga tidak
diketahui kebenaran bahwa ocha lebih tua dari Arsi.
Dalam kalimat
(c), nilai kebenaran kalimat tergantung pada harga x dan y yang ada.
Jika x =1 dan y = 4, maka kalimat tersebut menjadi kalimat yang benar.
Tetapi jika x = 4 dan y = 5, maka kalimat tersebut menjadi kalimat yg
salah. Jadi secara umum tidak dapat ditentukan apakah kalimat tersebut
benar atau salah.
Kalimat
(d), walaupun mempunyai susunan kalimat yang benar, tetapi tidak
mempunyai arti karena relasi mencintai tidak berlaku pada bilangan. Oleh
karena itu, kalimat tersebut tidak ditentukan benar atau salahnya.
Suatu
pernyataan yang selalu benar dalam semua keadaan dinamakan tautologi ,
sedangkan pernyataan yang selalu salah dalam semua keadaan dinamakan
kontradiksi.
3.2 Negasi / Ingkaran
Negasi
suatu kalimat akan mempunyai niali kebenaran yang berlawanan dengan
nilai kebenaran kalimat aslinya. Jadi jika nilai p bernilai benar maka
bernilai salah. Sebaliknya jika p bernilai salah, maka akan bernilai
benar.
Atomic/tunggal
Majemuk/compound
- konjungsi
- disjungsi
- implikasi/kondisional
- biimplikasi
Konjungsi
Kalimat
(dibaca “ p dan q”) akan bernilai benar jika baik p maupun q bernilai
benar. Jika salah satunya bernilai salah (apalagi keduanya) bernilai
salah, maka bernilai salah. Tabel kebenaran dari Konjungsi dapat
dilihat pada Tabel 3.1 dibawah ini :
p Q
1 1 1
1 0 0
0 1 0
0 0 0
Tabel 3.1
Disjungsi
Kalimat
(dibaca “p atau q”) akan bernilai salah jika bail p maupun q bernilai
salah. Secara umum, yang di maksud dengan penghubung “atau” adalah
inclusive OR (kedua penyusun kalimat boleh bernilai benar). Tabel ke
benaran dari disjungsi dapat dilihat dibawah ini :
p Q
1 1 1
1 0 1
0 1 1
0 0 0
Tabel 3.2
Contoh :
1. Dalam perayaan itu, tamu boleh menyumbang uang atau barang
2. Saya akan melihat pertandingan itu di TV atau di lapangan
Dalam
kalimat (1), keseluruhan kalimat tetap bernilai benar jika kedua
kalimat penyusun nya benar. Jadi, tamu di perbolehkan menyumbang uang
sekaligus barang. Sebaliknya, dalam kalimat (2), hanya salah satu
diantara kalimat penyusunnya yang boleh bernilai benar, tetapi tidak
keduanya. Keseluruhan kalimat akan bernilai jika saya melihat
pertandingan itu di TV saja, atau di lapangan saja, tetapi tidak
keduanya. Kata penghubung “atau (or)” dalam kalimat (1) disebut
Inclusive OR, sedangkan dalam (b) disebut Exclusive OR.
Equivalen
Dua
kalimat disebut ekuivalen ( ) bila dan hanya bila keduanya mempunyai
nilai kebenaran yang sama untuk semua substitusi nilai kebenaran
masing-masing kalimat penyusunnya. Atau dengan kata lain, jika hanya
jika p dan q mempunyai nilai kebenaran yang “selalu” sama.
Negasi dari konjungsi dan disjungsi
p q
1 1 0 0 1 1 0 0 0 0
1 0 0 1 0 1 0 1 1 0
0 1 1 0 0 1 0 1 1 0
0 0 1 1 0 0 1 1 1 1
Tabel 3.3
Kesimpulan :
Implikasi
Kalimat
akan bernilai salah kalau p benar dan q salah. p disebut hipotesis
(anteseden) dan q disebut konklusi (konsekuen). Kalimat berbentuk
disebut kalimat berkondisi karena kebenaran kalimat q tergantung pada
kebenaran kalimat p. Tabel kebenaran untuk implikasi adalah :
p q
1 1 1
1 0 0
0 1 1
0 0 1
Tabel 3.4
Contoh :
Apabila ada seorang pria yang berkata “jika besok cerah, maka aku akan datang kerumahmu”.
p = “Besok cuaca cerah”
q = “aku kan datang ke rumahmu”.
Jika
p maupun q keduanya benar, maka akan bernilai benar. Jika p salah
(ternyata keesokannya hujan lebat atau cuaca tidak cerah), maka pria
tersebut terbebas dari janji nya karena janji tersebut bersyarat, yaitu
kalau besok cerah. Jadi, baik pria tersebut datang (berarti q bernilai
benar) maupun tidak datang (q bernilai salah), ia tidak akan di salahkan
(bernilai benar). Akan tetapi, pria tersebut akan di salahkan apabila
keesokan harinya cuaca cerah (p bernilai benar) apabila keesokan harinya
cuaca cerah (p bernilai benar) tetapi ia tidak datang (q salah).
p
Q
1 1 0 1 1
1 0 0 0 0
0 1 1 1 1
0 0 1 1 1
Tabel 3.5
Biimplikasi
dibaca p jika dan hanya jika q. .
bernilai benar jika p dan q keduanya bernilai benar atau salah. Tabel kebenaran untuk adalah :
p Q
1 1 1 1 1
1 0 0 0 0
0 1 1 0 0
0 0 0 1 1
Tabel 3.6
Jika :
Maka :
3.3 Membuat Kesimpulan
Modus Ponens
Secara simbolik, modus ponens dapat dinyatakan sebagai berikut :
q (T)
Atau dapat ditulis .
Implikasi
“bila p maka q” yang disumsikan bernilai benar. Apabila selanjut nya
diketahui bahwa anteseden (p) benar, supaya implikasi benar, maka q
juga harus bernilai benar. Inferensi seperti itu disebut Modus Ponens.
Tabel kebenaran untuk adalah :
p Q
1 1 1 1 1
1 0 0 0 1
0 1 1 0 1
0 0 1 0 1
Tabel 3.7
Modus Tollens
Secara simbolik, bentuk inferensi Modus Tollens adalah sebagai berikut :
Contoh :
Jika Zeus seorang manusia, maka ia dapat mati
Zeus tidak dapat mati
Zeus bukan seorang manusia
Posting Komentar